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O NÚMERO DESAPARECIDO - DESAFIO MATEMÁTICO

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O NÚMERO DESAPARECIDO - DESAFIO MATEMÁTICO

Mensagem por Admin em Qui Abr 06, 2017 5:34 pm


O número desaparecido (Desafio nº 10)         Nível de dificuldade: 1

Qual o valor do número desaparecido na seguinte sequência?


Resolução:

A sequência apresentada neste desafio é, tal como a sucessão de Fibonacci de que falámos anteriormente no artigo “Coelhos, girassóis e o Código Da Vinci”, uma sequência definida recursivamente, isto é, uma sequência em que cada termo é definido à custa dos anteriores, através de uma fórmula que traduz operações com esses termos.

No caso da sucessão de Fibonacci, cujos primeiros nove termos são 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 … cada termo (a partir do 3º) é obtido através da adição dos dois termos anteriores. Recorrendo à simbologia matemática, representando por a1 o 1º termo, por a2 o 2º termo, por a3 o 3º termo, por a4 o 4º termo e assim sucessivamente, a sucessão de Fibonacci pode ser apresentada da seguinte forma:

a1=1               a2=1                a3=2               a4=3                a5=5               a6=8    …

Ora, como a partir do 3º termo, cada termo é a soma dos dois anteriores:

- o 3º termo é a soma do 1º termo com o 2º termo

a3 = a1 + a2    

- o 4º termo é a soma do 2º termo com o 3º termo

a4 = a2 + a3    

e assim sucessivamente,   a5 = a3 + a4                   a6 = a4 + a5     …

Assim, para definir a sucessão de Fibonacci, não há necessidade de apresentar o valor dos termos, a partir do 3º, bastando apresentar a fórmula que permite calculá-los, ou seja, uma fórmula que represente a soma dos dois termos anteriores. Esta fórmula é

an = an-1 + an-2

onde o termo na posição n (termo an) é obtido através da soma do termo an-1  (o termo que se encontra na posição n-1, ou seja, o termo imediatamente anterior ao termo an) com o termo an-2  , que se encontra duas posições antes de an. Assim, a sucessão de Fibonacci é definida da seguinte forma

a1 =1

a2 =1      

an = an-1 + an-2 ,  n > 2

Na sequência apresentada no desafio, os termos conhecidos são:

a1=3               a2=7                a3=15             a4=31             a5=63

desconhecendo-se o valor do 6º termo, a6 .

Sendo uma sequência definida recursivamente, cada um dos termos terá, obrigatoriamente, uma relação com os termos anteriores. Para tentar descobrir que essa relação, analisemos a diferença entre cada termo e o termo na posição anterior a ele. A tabela seguinte apresenta esses cálculos:


Observando os valores obtidos, verifica-se que o valor de cada uma das diferenças é sempre igual ao valor do termo que foi subtraído, adicionado de uma unidade, portanto:


Está descoberta a relação entre os termos da sucessão!

A partir do 2º termo, cada termo (an) desta sucessão é o dobro do termo anterior (an-1)  adicionado de 1 unidade. Assim, a sucessão pode ser representada indicando o 1º termo e a fórmula que origina os restantes:

a1 = 3

an = 2 x an-1 + 1 ,  n > 1

Para determinar o termo desaparecido, que corresponde à 6ª posição  (a6), basta calcular o dobro do termo na posição 5 (a5 = 63) e adicionar-lhe uma unidade.

O número desaparecido é portanto o 127 (127 = 2 x 63 + 1)

Imagem de capa de muslimheritage.com

Carla Santos
Professora Universitária - Natural de Évora, é doutorada em Matemática Aplicada e professora do Departamento de Matemática e Ciências Físicas do Instituto Politécnico de Beja.

  6 Abril 2017      16:11
Tribuna Alentejo

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Cláudio Carneiro


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